Tikslūs rėžiai martingalams su aprėžtais skirtumais - Dzindzalieta, Dainius (Lietuvos matematikos rinkinys, 2009)
Šiame darbe sprendžiamas variacinis uždavinysBn(x) def = supMn∈ Mn PMn ≥ x,visiems x ∈ R, kur Mn yra klasė aprėžtų martingalų. Martingalo Mn skirtumai Xk tenkina salygą E(Xk | Fk-1) = 0 didėjančios σ -algebrų iš mačiosios erdvės (Ω, F), šeimos ∅ = F0 ⊂ F1 ⊂ ··· ⊂ Fn ⊂ F atžvilgiu. Tariama, kad skirtumai yra aprĖžti (t.y. |Xk| ≤ 1). Mūsų metodai iš esmės panašūs į metodą, kurį naudojo Bentkus 2001 rėžiui (2) gauti, kai x ∈ Z ir metodą, kurį naudojo sąlyginai simetriniais skirtumais gauti. Rezultatas gali būti pritaikomas apibūdinti atsitiktiniams klajojimams, kurie maksimizuoja tikimybę patekti į intervalą, kai kuriems mato koncentracijos dominavimo modeliams, atsitiktinių grafų teorijoje ir pan.Interpretuoti Wn = {0, X1, X1 + X2, . . ., X1 + ··· + Xn} = {0, M1, . . ., Mn} galima kaip n žingsnių atsitiktinį klajojimą prasidedanti nulyje. Tegul Px(Wn) yra tikimybė aplankyti intervalą [x,∞] per pirmus n žingsnių, t.y.Px(Wn) = P{ max0 ≤ k≤ n Mk ≥ x}.Sveikiesiems x uždavinį (1) galime performuluoti kaip izoperimetrinį uždavinįBn(x) = Px(RWn) = sup Wn Px (Wn),kur RWn = {0, ε1, ε1 + ε2, . . ., ε1 + ··· + εn} žymimas simetrinis paprastasis atsitiktinis klajojimas prasidedantis taške 0 (Čia ε, ε1, ε2, . . ., εn yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę Rademacherio atsitiktiniai dydžiai, t.y. P{ε = 1} = P{ε = -1} = 1/2 ). Kitais žodžiais, tarp visų atsitiktinių klajojimų su aprėžtais žingsnių ilgiais ir tarp visš aprėžtų atsitiktinių klajojimų, simetrinis paprastasis atsitiktinis klajojimas maksimizuoja tikimybė patekti į intervalą [x,∞], kur x ∈ Z.
Keywords: atsitiktiniai klajojimai; tikimybė patekti į intervalą; martingalas; supermartingalas; rėžiai uodegų tikimybėms